Orlicz 空间中带体积约束的优化问题

我们考虑在函数类 $W^{1,G}(\Omega)$ 中最小化 $\int_{\Omega}G(|\nabla u|) dx$ 的优化问题，并对集合 $\{u>0\}$ 的体积施加约束。关于函数 $G$ 的条件允许其在 $0$ 处和 $\infty$ 处具有不同的行为。我们考虑一个惩罚问题，并证明对于较小的惩罚参数值，可以达到约束体积。以此方式，我们证明了每个解 $u$ 都是局部 Lipschitz 连续的，且自由边界 $\partial\{u>0\}\cap \Omega$ 是光滑的。