与标量金斯韦-兰德方程及自由边界相关的最小问题

设 $N>2$，$p\in \left(\frac{2N}{N+2},+\infty\right)$，以及 $\Omega$ 为 $\mathbb{R}^N$ 中的开放有界域。我们考虑最小问题 $$\mathcal{J} (u) := \displaystyle\int_{\Omega } \left(\frac{1}{p}| \nabla u| ^p+\lambda_1\left(1-(u^+)^2\right)^2+\lambda_2u^+\right)\text{d}x\rightarrow \text{min}$$ 在集合 $\mathcal{K}$ 上的，其中 $\lambda_1\geq 0$，$\lambda_2\in \mathbb{R}$ 为常数，$u^+:=\max\{u,0\}$。对应的欧拉-拉格range 方程与金斯韦-兰德方程相关，并在 $\lambda_1>0$ 时涉及亚临界指数。对于 $\lambda_1\geq 0$ 且 $\lambda_2\in \mathbb{R}$，我们证明了 $\mathcal{J} (u)$ 的最小值存在性、非负性和一致有界性。随后，我们证明任何最小值在某 $\alpha\in (0,1)$ 时都是局部 $C^{1,\alpha}$ 连续的，并在自由边界处具有最优增长 $\frac{p}{p-1}$。最后，在额外假设 $\lambda_2>0$ 下，我们在自由边界附近建立最小值非退化性，并证明至少存在一个最小值，其对应的自由边界具有有限（$N-1$）维 Hausdorff 测度。