具有Lipschitz数据的接触点处自由边界分析

本文考虑泛函 $$J(u)=\int_{B_1^+}|\nabla u|^2+\lambda_{+}^2\chi_{\{u>0\}}+\lambda_{-}^2\chi_{\{u\leq0\}}$$ 在$B_1^+\subset\mathbb{R}^n, n\geq 2$上的极小化问题，边界条件为$\partial B_1^+$上的Lipschitz连续Dirichlet数据。更精确地，我们假设$0\in \partial \{u>0\}$且边界数据的导数具有跳跃间断。若$0\in \overline{\partial(\{u>0\} \cap B_1^+)}$，则（对于$n=2$或$n>3$且单相情形）我们证明，自由边界$\partial \{u>0\}$沿着由$\gamma x_1 = \pm x_2$给出的两个可能平面之一趋近原点，其中$\gamma$是由边界数据给出的显式常数，$\lambda_\pm$是$J(u)$定义中出现的常数。此外，趋近$\gamma x_1=x_2$的速度是一致的。