自由边界与固定边界的切向接触:一类自由传输变分问题的解

在本文中,我们研究如下类型的泛函 $$\int_{\Omega} \Big ( \langle A(x,u)\nabla u, \nabla u\rangle + \Lambda (x,u) \Big )\,dx$$ 其中 $A(x,u)= A_+(x)\chi_{\{u>0\}}+A_-(x) \chi _{\{u\leq 0\}}$,对应某些具有 Hölder 连续元素的椭圆有界矩阵 $A_{\pm}$,且 $\Lambda(x,u) = \lambda_+(x) \chi_{\{u>0\}} + \lambda_-(x) \chi_{\{u\le 0\}}$。我们证明,在上述泛函的极小元的自由边界以切向方式接触固定边界 $\partial \Omega$,前提是边界数据的图像光滑地接触其零点。这一假设体现在 \eqref{DPT} 条件中。