抽象广义 Orlicz-有界变分能量的最小化子

度量 $\varphi:\Omega\times [0,\infty) \to [0,\infty)$ 低增长速率的一种方式是要求 $t \mapsto \varphi(x,t)t^{-r}$ 在 $(0,\infty)$ 上递增。若此条件对 $r=1$ 成立，则带边界值 $f\in W^{1,\varphi}(\Omega)$ 的 $$\inf_{u\in f+W^{1, \varphi}_0(\Omega)}\int_\Omega \varphi(x, |\nabla u|) \, dx$$ 未必有最小化子。然而，若将 $\varphi$ 替换为 $\varphi^p$，则增长条件对 $r=p > 1$ 成立，从而（在某些附加条件下）相应能量积分有最小化子。我们证明此类最小化子序列 $(u_p)$ 在 $p \to 1^+$ 时于涉及广义 Orlicz 增长的合适 $\mathrm{BV}$ 型空间中收敛，并得到了具固定边界值与具保真项泛函的 $\Gamma$-收敛。