混合光滑性空间中变分问题极小元的存在性

本工作是为处理依赖于给定输入函数在不同方向不同阶导数的混合的变分问题建立系统框架的第一步。对固定向量 $\mathbf{a} := (a_1, \ldots, a_N) \in \mathbb{N}^N$ 与 $u \colon \mathbb{R}^N \supset \Omega \to \mathbb{R}^n$，我们以 $\nabla_{\mathbf{a}} u := (\partial^{\alpha} u)_{\langle \alpha, \mathbf{a}^{-1} \rangle = 1}$ 表示矩阵，其第 $i$ 行由映射 $u$ 的第 $i$ 个分量之导数 $\partial^\alpha u^i$ 构成，其中多重指标 $\alpha$ 满足 $\langle \alpha, \mathbf{a}^{-1} \rangle = \sum_{j=1}^N \frac{\alpha_j}{a_j} = 1$。我们研究形如 $$\mathrm{W}^{\mathbf{a},p}(\Omega;\mathbb{R}^n) \ni u \mapsto \int_\Omega F(\nabla_{\mathbf{a}} u(x)) \, \mathrm{d} x,$$ 的泛函，其中 $\mathrm{W}^{\mathbf{a},p}(\Omega; \mathbb{R}^n)$ 是适当的混合光滑性 Sobolev 空间，$F$ 为被积函数。我们在给定 Dirichlet 边界条件下研究此类泛函极小元的存在性。就 Morrey 拟凸性的适当推广，我们刻画了此类泛函的强制性、下半连续性与松弛包络。