非局部图像恢复流的变分方法

我们证明了与图像去噪和去模糊相关的非局部全变分流变分解的存在性、唯一性和初始时间正则性。特别地，我们证明了抛物型极小化子 $u$ 的存在性，即对于 $\phi\in C^\infty_c(\Omega\times (0,T))$，有 $$\int_0^T\int_\Omega u\partial_t\phi\,dx + \textbf{F}(u(t))\,dt\leq \int_0^T \textbf{F}(u+\phi)(t)\,dt$$。原型泛函 $\textbf{F}(u)$ 为 $\textbf{F}(u)=\textbf{TV}^{\alpha}_{\cdot}(u)+\frac{\kappa}{\zeta}\int_\Omega|u(x)-u_0(x)|^\zeta\,dx$，其中 $\zeta\geq 1$。这里 $\textbf{TV}^{\alpha}_{\cdot}$ 是 Riesz 型或 Gagliardo 型的分数阶全变分，第二项是回归项。这些模型基于文献中提出的分数阶 $\textbf{BV}$ 空间的不同定义。解的概念完全是变分的，并基于加权耗散方法。我们在没有对区域进行光滑性假设的情况下证明了存在性，并在不使用严格凸性的情况下展示了唯一性。我们还可以处理模型中相当一般的保真度或回归项。此外，该方法还为构造抛物型分数阶 $1$-Laplace 方程的解提供了一条新途径。