图像处理中若干变分问题极小元的唯一性

我们将研究一个公开问题，涉及一类源于 Meyer 图像分解模型（将图像分解为几何部分与纹理部分）的变分问题极小元的唯一性。我们主要关注问题 (0.1) 极小元的唯一性：\begin{equation} \label{eq:abs-1} (0.1)\qquad \inf \left\{J(u)+J^*\left(\frac{v}{\mu}\right): (u,v)\in L^2(\Omega)\times L^2( \Omega){,}\; f=u+v \right\} \end{equation} 其中图像 $f$ 是定义域 $\Omega$ 上的平方可积函数，数 $\mu$ 为参数，泛函 $J$ 表示全变分，泛函 $J^*$ 为其勒让德变换。我们将问题 (0.1) 视为问题 (0.2) 的特例：\begin{equation} \label{eq:abs-2} (0.2)\qquad \inf\{s(f-u)+s^*(u): u\in \mathcal{X}\} \end{equation} 其中 $\mathcal X$ 是包含 $f$ 的 Hilbert 空间，$s$ 是 $\mathcal X$ 上的连续半范数。在有限维情形，我们将证明问题 (0.2) 可化为到适当欧氏空间上给定范数单位球极集的投影问题。我们还将给出由任意范数及欧氏空间任意非空、闭、有界凸集定义的更一般投影问题极小元唯一性的刻画。最后，我们将给出支持分解问题极小元唯一性的数值证据。