有界域中具有空间衰减非线性的 $L^{2}$ 临界非齐次变分问题的最小化子

我们考虑在包含 $0$ 的 $\mathbb{R}^{N}$ 中开有界域 $\Omega$ 上，具有空间衰减非线性项的 $L^{2}$ 临界非齐次变分问题的最小化子。我们证明存在阈值 $a^{*}>0$，使得当 $0<a<a^{*}$ 时最小化子存在，而当任意 $a>a^{*}$ 时最小化子不存在。与齐次情形相反，我们表明在阈值 $a^*$ 处最小化子可能存在也可能不存在，这取决于 $V(0)$ 的值，其中 $V(x)$ 表示俘获势。此外，在对 $V(x)$ 的某些适当假设下，基于对当 $a\nearrow a^*$ 时最小化子集中行为的详细分析，我们证明了当 $a$ 充分接近 $a^*$ 时最小化子的局部唯一性。