一般最小梯度问题极小值的存在性和唯一性

受电导率成像中问题的启发，我们在某些尖锐条件下证明了如下一般最小梯度问题极小值的存在性、唯一性和比较定理：\n$$\inf_{u\in BV_f(\Omega)} \int_{\Omega}\varphi(x,Du),$$\n其中$f:\partial \Omega\to \R$连续，\n$$BV_f(\Omega):=\{v\in BV(\Omega): \ \ \forall x\in \partial \Omega, \ \ \lim_{r\to 0} \ \esssup_{y\in \Omega, |x-y|<r} |f(x) - v(y)| = 0 \ \}$$\n且$\varphi(x,\xi)$是一个函数，除其他性质外，关于$\xi$变量是凸且一次齐次的。特别地，我们证明如果$a\in C^{1,1}(\Omega)$远离零，则加权最小梯度问题$\inf_{u \in BV_f}\int_{\Omega} a|Du|$的极小值在$BV_f(\Omega)$中是唯一的。我们构造反例表明正则性假设$a\in C^{1,1}$是尖锐的，即它不能被$a\in C^{1,\alpha}(\Omega)$（任何$\alpha<1$）所替代。