最小梯度问题极小值子的存在性与结构

我们研究一般最小梯度问题 $$\n\inf_{u \in BV_f} \int_{\Omega}\varphi(x,Du),\n$$ 极小值子的存在性，其中 $BV_f=\{u \in BV(\Omega): \ \ u|_{\partial \Omega}=f\}$，$f\in L^{1}(\partial \Omega)$，且 $\varphi(x,\xi)$ 是关于 $\xi$ 变量的 $1$ 次齐次凸连续函数。证明了存在一个无散度向量场 $T\in (L^{\infty}(\Omega))^n$ 决定了所有（可能的）极小值子水平集的结构，即对所有极小值子 $u$，$T$ 在 $\Omega$ 中 $|Du|-$ 几乎处处决定了 $\frac{Du}{|Du|}$。我们还证明了上述最小梯度问题的每个极小值子也是 $$\n\inf_{u\in \mathcal{A}_f} \int_{\R^n}\varphi(x,Du),\n$$ 的极小值子，其中 $\mathcal{A}_f=\{v\in BV(\R^n): \ \ v=f \ \ \hbox{on}\ \ \Omega^c\}$，且 $f\in W^{1,1}(\R^n)$ 是 $f\in L^1(\partial \Omega)$ 的紧支集延拓，并证明了 $T$ 也决定了后一问题所有极小值子水平集的结构。上述两个最小梯度问题极小值子之间的这种关系可被利用，从始终存在的后一问题的极小值子的存在性与结构中，获取关于前者极小值子存在性与结构的信息。