二阶绝对极小元的存在性、唯一性与结构

设 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为有界开 $C^{1,1}$ 集。本文中，我们证明了在 $\partial \Omega$ 上给定 $u$ 与 $\mathrm{D} u$ 的边界条件以及关于 $\mathrm{F}$ 的自然假设下，泛函 $$\mathrm{E}_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \| \mathrm{F}(\cdot, \Delta u) \|_{L^\infty( \mathcal{O} )}, \ \ \ \mathcal{O} \subseteq \Omega \text{ 可测},$$ 的唯一二阶绝对极小元 $u_\infty$ 的存在性。我们还证明了 $u_\infty$ 是部分光滑的，且存在调和函数 $f_\infty \in L^1(\Omega)$ 使得对所有 $x \in \{f_\infty \neq 0\}$ 有 $$\mathrm{F}(x, \Delta u_\infty(x)) \, =\, e_\infty\, \mathrm{sgn}\big(f_\infty(x)\big)$$ 其中 $e_\infty$ 为全局能量的下确界。