连续凸哈密顿量绝对极小元的 regularity

对于任意 $n\ge 2$、$\Omega\subset\rn$ 以及任意给定的凸且强制的哈密顿量函数 $H\in C^{0}(\rn)$，我们找到了关于 $H$ 的一个最优充分条件，即对任意 $c\in\mathbb R$，水平集 $H^{-1}(c)$ 不包含任何线段，从而使得任意绝对极小元 $u\in AM_H(\Omega)$ 具有线性逼近性质。作为推论，我们证明当 $n=2$ 时，若 $u\in AM_H(\Omega)$ 则 $u\in C^1$；并且若 $u\in AM_H(\rr^2)$ 在无穷远处满足线性增长，则 $u$ 是 $\rr^2$ 上的线性函数。特别地，若 $H$ 是 $\mathbb R^2$ 上的严格凸巴拿赫范数 $\|\cdot\|$，例如 $1<\alpha<1$ 时的 $l_\alpha$-范数，则任意 $u\in AM_H(\Omega)$ 是 $C^1$ 的。证明的思想并非基于 PDE 方法，而是纯变分与几何的。