平面上涉及哈密顿量 $H(p)\in C^0 (\mathbb{R}^2)$ 的绝对极小元的定量 Sobolev 正则性

设 $H \in C^0 (\mathbb{R}^2)$ 满足 \begin{enumerate} \item[(H1)] $H$ 在 $\rr^2$ 中局部强凸且局部强凹， \item[(H2)] $H(0)=\min_{p\in\rr^2}H(p)=0$。 \end{enumerate} 令 $\Omega\subset \rr^2$ 为任意区域。对于 $\Omega$ 中任一 $H$ 的绝对极小元 $u$，或者若另有 $H\in C^1(\rr^2)$，对于 Aronsson 方程 \mathscr A_H[u]=\sum_{i,j=1}^2 H_{p_i}(Du) H_{p_j}(Du)u_{x_ix_j}=0 \quad \mbox{ 在 $\Omega$ 中} 的任一粘性解，本文证明如下： \begin{enumerate} \item[(i)] 只要 $\alpha>1/2-\tau_H(0)$，就有 $[H(Du)]^\alpha\in W^{1,2}_\loc(\Omega)$；并给出若干定量上界。此处当 $H\in C^2(\rr^2)$ 时 $\tau_H(0)=1/2$，一般情形下 $0< \tau_H(0)\le 1/2$。 \item[(ii)] 若 $H\in C^1(\rr^2)$，则分布行列式 $-{\rm det}D^2u\,dx$ 是 $\Omega$ 中的非负 Radon 测度，并满足若干定量下界/上界。 \item[(iii)] 若 $H\in C^1(\rr^2)$，则对所有 $\alpha>\frac12-\tau_H(0)$，有 \mbox{$\langle D [H(Du )]^\alpha ,D_p H(Du )\rangle=0 $ 在 $\Omega$ 中几乎处处成立。} \end{enumerate}