涉及哈密顿量 $H(x,p)$ 的 $L^\infty$-泛函绝对极小元的唯一性

对于有界区域 $U\subset\mathbb{R}^n$，考虑涉及非负哈密顿函数 $H:\overline U\times\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$ 的 $L^\infty$-泛函。本文将在狄利克雷边界值 $g\in C(\partial U)$ 下，建立 $H$ 的绝对极小元 $u\in W^{1,\infty}_{\mathrm{loc}}(U)\cap C(\overline U)$ 的唯一性，前提是满足以下条件：\n(A1) $H$ 在 $\overline U\times\mathbb{R}^n$ 上是下半连续的，且对任意 $x\in\overline U$，$H(x,\cdot)$ 是凸的。\n(A2) 对任意 $x\in\overline U$，有 $\displaystyle H(x,0)=\min_{p\in \mathbb{R}^n}H(x,p)=0$，且 $\displaystyle\bigcup_{x\in \overline U}\big\{p: H(x,p)=0\big\}$ 包含在 $\mathbb{R}^n$ 的一个超平面内。\n(A3) 对任意 $\lambda>0$，存在 $\displaystyle 0<r_\lambda\le R_\lambda<\infty$ 且 $\displaystyle\lim_{\lambda\to\infty}r_\lambda=\infty$，使得对任意 $\lambda>0$ 和 $x\in\overline U$，有 $$B(0,r_\lambda)\subset \Big\{p\in\mathbb{R}^n\ |\ H(x,p)< \lambda\Big\}\subset B(0,R_\lambda).$$ 这将文献 [j93, jwy, acjs] 和 [ksz] 的唯一性定理推广到一大类具有 $x$-依赖的哈密顿函数 $H(x,p)$。作为推论，我们证实了文献 [jwy] 提出的关于绝对极小元唯一性的一个公开问题。证明依赖于由 $H$ 诱导的作用函数 $\mathcal L_t(x,y)$ 的几何结构，以及将 $u$ 的绝对次极小性与 Hamilton-Jacobi 流 $t\mapsto T^tu(x)$ 的凸性等同起来。