球域中 Poincaré-Sobolev 型不等式极值函数的形状

我们研究了一类 Poincaré-Sobolev 型不等式的极值函数。对于次临界或临界的 $p\geq 2$，这些函数在所有满足 $\int_{B}u=0$ 的 $u \in H^1(B)\setminus\{0\}$ 中使商 ${\|\nabla u\|_2}/{\|u\|_p}$ 最小化。此处 $B$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的单位球。我们证明了极小值点关于通过原点的直线呈轴对称。我们还证明了它们沿该直线方向严格单调。特别地，它们的最大值和最小值恰好出现在 $B$ 边界上的两个对跖点处。我们还证明，对于接近 $2$ 的 $p$，极小值点关于通过原点且垂直于对称轴的超平面呈反对称，且一旦固定对称轴，它们是唯一的（相差一个常数倍）。在二维空间中，我们证明了对于较大的 $p$，极小值点不具有反对称性。