关于 $L^\infty$ 中向量值绝对极小元的数值逼近

设 $\Omega$ 为开集。我们考虑极值泛函 $$\tag{1} \label{1} \ \ \ \ \ \ \mathrm{E}_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \| \mathrm D u \|_{L^\infty( \mathcal{O} )}, \ \ \ \mathcal{O} \subseteq \Omega \text{ open},$$ 作用于局部 Lipschitz 映射 $u : \mathbb R^n \supseteq \Omega \longrightarrow \mathbb R^N$，其中 $n,N\in \mathbb N$。这是 $L^\infty$ 变分学的模型泛函。该领域正快速发展，但 $N\geq 2$ 的向量值情形仍知之甚少。由于 \eqref{1} 的非局部性质，通常的极小元并非真正最优。所谓绝对极小元的概念是变分学方向上主要的竞争者。然而，它们无法通过直接极小化获得，且在给定边界数据下其存在性问题当 $n,N\geq 2$ 时仍是开放的。本文中我们基于第一作者近期在文献 [33, 35] 中提出的新方法给出数值实验。