$L^\infty$ 中向量变分法 PDE 系统的逐点刻画

设 $n,N\in \mathbb{N}$ 且 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 为开集。给定 $H \in C^2(\Omega \times \mathbb{R}^N\times \mathbb{R}^{Nn})$，我们考虑泛函 $$\tag{1} \label{1} E_\infty (u,\mathcal{O})\, :=\, \underset{\mathcal{O}}{\mathrm{ess}\,\sup}\, H (\cdot,u,\mathrm{D} u) ,\ \ \ u\in W^{1,\infty}_\text{loc}(\Omega,\mathbb{R}^N),\ \ \ \mathcal{O} \Subset \Omega.$$ 相关的 PDE 系统在 $L^\infty$ 中扮演欧拉 - 拉格朗日方程的角色，其形式为 $$\label{2} \tag{2} \left\{ \begin{array}{r} H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D}u)\, \mathrm{D} \big(H(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big) \, = \, 0, \ \ \ H(\cdot, u, \mathrm{D} u) \, [\![H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)]\!]^\bot \Big(\mathrm{Div}\big(H_{P}(\cdot, u, \mathrm{D} u)\big)- H_{\eta}(\cdot, u, \mathrm{D} u)\Big)\, =\, 0, \end{array} \right.$$ 其中 $[\![A]\!]^\bot := \mathrm{Proj}_{R(A)^\bot}$。在此，我们确立了方程 \eqref{2} 的广义解可以被刻画为能量适当仿射变化类下的局部极小值点。方程 \eqref{2} 的广义解被理解为 $\mathcal{D}$-解，这是由作者之一最近引入的一个通用框架。