通过 $L^\infty$ 中的仿射变分对 $\infty$-调和与 $p$-调和映射的新刻画

设 $u: \Omega \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$ 为光滑映射，$n,N \in \mathbb{N}$。$\infty$-拉普拉斯算子是 PDE 系统 $$\tag{1} \label{1} \Delta_\infty u \, :=\, \Big(Du \otimes Du + |Du|^2[Du]^\bot\! \otimes I\Big) :D^2u\, =\, 0,$$ 其中 $[Du]^\bot := \text{Proj}_{R(Du)^\bot}$。\eqref{1} 构成了 $L^\infty$ 中向量值变分法的基本方程，与模型泛函 $$\tag{2} \label{2} E_\infty (u,\Omega')\, =\, \big\| |Du|^2\big\|_{L^\infty(\Omega')} ,\ \ \ \Omega' \Subset \Omega.$$ 相关联。我们证明，\eqref{1} 的广义解可以通过一组指定的仿射变分用 \eqref{2} 来刻画。对于标量情形 $N=1$，我们利用 Crandall-Ishii-Lions 的粘性解理论。对于向量值情形 $N\geq 2$，我们利用作者最近提出的 $\mathcal{D}$-解理论。此外，我们将上述结果推广到 $p$-拉普拉斯算子，$1<p<\infty$。