基于一个基本不等式的涉及 $p$-拉普拉斯算子的椭圆与抛物方程二阶正则性

记 $\Delta$ 为拉普拉斯算子，$\Delta_\infty$ 为 $\infty$-拉普拉斯算子。对 $\Delta v\Delta_\infty v$ 的代数结构证明了一个基本不等式：对任意 $v\in C^\infty$，$$\ | { |D^2vDv|^2} - {\Delta v \Delta_\infty v } -\frac12[|D^2v|^2-(\Delta v)^2]|Dv|^2\ | \le \frac{n-2}2 [|D^2v|^2{|Dv|^2}- |D^2vDv|^2 ].$$ 基于此，我们证明如下结果：1. 对任意 $p$-调和函数 $u$，$p\in(1,2)\cup(2,\infty)$，我们有 $$|Du|^{\frac{p-\gamma}2}Du\in W^{1,2}_{\rm loc},$$ 其中 $\gamma<\min\{p+\frac{n-1}{n},3+\frac{p-1}{n-1}\}$。作为推论，当 $p\in(1,2)\cup(2,3+\frac2{n-2})$ 时，我们重新证明了已知的 $p$-调和函数对某个 $q>2$ 的 $W^{2,q}_{\rm loc}$-正则性。2. 当 $n\ge 2$ 且 $p\in(1,2)\cup(2,3+\frac2{n-2})$ 时，抛物型归一化 $p$-拉普拉斯方程的粘性解在空间变量上具有 $W_{\rm loc}^{2,q}$-正则性，在时间变量上具有 $W_{\rm loc}^{1,q}$-正则性，其中某个 $q>2$。特别地，当 $n=2$ 时，[17] 中的一个公开问题被完全解答。3. 当 $n\ge 1$ 且 $p\in(1,2)\cup(2,3)$ 时，抛物型 $p$-拉普拉斯方程的弱/粘性解在空间变量上具有 $W_{\rm loc}^{2,2}$-正则性，在时间变量上具有 $W_{\rm loc}^{1,2}$-正则性。此处 $p$ 的范围（包括经典结果给出的 $p=2$）对于 $W_{\rm loc}^{2,2}$-正则性是尖锐的。