$p$-拉普拉斯算子的几何

$p$-拉普拉斯算子 $\Delta_pu={\rm div }\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)$ 对于任意 $p\in(1,2)\cup(2,\infty)$ 不是一致椭圆的，并且当 $p\to \infty$ 或 $p\to 1$ 时退化得更厉害。在这两种情况下，与 $p$-拉普拉斯相关的 Dirichlet 和特征值问题引出了引人入胜的几何问题，因为其当 $p\to\infty$ 或 $p\to 1$ 时的极限可由 $\Omega$ 的几何刻画。在这篇小综述中，我们回顾了关于经典 2-拉普拉斯特征函数的一些著名结果，并详细阐述了它们到一般 $p\in[1,\infty]$ 的推广。我们也报告了关于归一化或博弈论 $p$-拉普拉斯 $$\Delta_p^Nu:=\tfrac{1}{p}|\nabla u|^{2-p}\Delta_pu=\tfrac{1}{p}\Delta_1^Nu+\tfrac{p-1}{p}\Delta_\infty^Nu$$ 及其抛物型对应 $u_t-\Delta_p^N u=0$ 的结果。这些方程是一阶齐次的，且 $\Delta_p^N$ 对于任意 $p\in (1,\infty)$ 是一致椭圆的。在这方面它比 $p$-拉普拉斯更温和，但它不是散度型。