非齐次 $p$-Laplace 问题的游戏论渐近均值性质

我们将拉普拉斯算子的经典均值性质推广至与 $p$-Laplace 算子相关的非线性和非齐次问题，以解决 $p>2$ 的情况。具体而言，我们通过新颖的渐近均值公式来表征右侧为非平凡函数 $f$ 的 $p$-Laplace 方程 $\Delta_p u:=\nabla\cdot(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) = f$ 的黏性解。虽然已存在齐次情形（$f = 0$）的渐近均值公式，利用归一化 $\Delta_p^{\text{N}}u:=|\nabla u|^{2-p} \Delta_p u = 0$，从而得到 1-齐次归一化 $p$-Laplace 算子，但当 $f \neq 0$ 时该归一化方法不可用。此处引入的均值公式首次激发了针对非齐次 $p$-Laplace 方程的游戏论方法。我们还分析了游戏值的存在性、唯一性及收敛性，这些值是从均值性质导出的动态规划原理的解。