与 Kolmogorov 的拔河博弈

我们引入一类新的强退化非线性抛物型偏微分方程 $$((p-2)\Delta_{\infty,X}^N+\Delta_X)u(X,Y,t)+(m+p)(X\cdot\nabla_Yu(X,Y,t)-\partial_tu(X,Y,t))=0,$$ $(X,Y,t)\in\mathbb R^m\times \mathbb R^m\times \mathbb R$, $p\in (1,\infty)$,结合了经典的 Kolmogorov 方程与归一化 $p$-Laplace 算子。我们用渐近均值性质刻画解,且结果联系于某些带噪声拔河博弈的分析。所引入博弈的值函数在控制可能步长的参数趋于零时逼近所述偏微分方程的解。我们建立了 Dirichlet 问题粘性解的存在性与唯一性。渐近均值性质、相关博弈以及 Dirichlet 问题底层的几何,均反映了 Kolmogorov 型算子底层的伸缩族与李群,这使得我们的设定不同于适用于热算子与归一化抛物型无穷 Laplace 算子的标准抛物伸缩与欧氏平移语境。