图上的离散无穷 Laplace 方程与 tug-of-war 博弈

我们研究如下有限宽度子图上的离散无穷 Laplace 方程 Dirichlet 问题 $$\Delta_{\infty} u(x) = \inf_{y \sim x}u(y)+\sup_{y \sim x}u(y)-2u(x) = f(x).$$ 若所有顶点到边界的距离一致有界,则称子图具有有限宽度。通过 Perron 方法,我们证明了有界解的存在性。我们还通过建立一个比较结果证明了当 $f$ 非负时解的唯一性,从而得到 Peres、Schramm、Sheffield 和 Wilson (2009) 引入的相应 tug-of-war 博弈博弈值的存在性。作为一个应用,我们展示了无穷调和函数的强 Liouville 性质。通过 Arzela-Ascoli 论证,我们证明了 $\varepsilon$-tug-of-war 博弈的解在 $\varepsilon$ 趋于 0 时的收敛性。相应地,我们得到了欧氏域上具有有限宽度的归一化无穷 Laplace 方程有界解的存在性。