有偏拉锯博弈、有偏无穷拉普拉斯算子与指数锥的比较

我们证明，若 $U\subset\R^n$ 是一个开区域，其闭包 $\overline{U}$ 在路径度量下是紧的，且 $F$ 是 $\partial{U}$ 上的 Lipschitz 函数，则对每个 $\beta\in\R$，存在唯一的粘性解满足 $\beta$ 有偏无穷拉普拉斯方程 $\beta |\nabla u| + \Delta_\infty u=0$ 在 $U$ 上并延拓 $F$，其中 $\Delta_\infty u= |\nabla u|^{-2} \sum_{i,j} u_{x_i}u_{x_ix_j} u_{x_j}$。在证明中，我们推广了 Peres、Schramm、Sheffield 和 Wilson 的拉锯博弈思想，并定义了 $\beta$ 有偏 $\eps$ 博弈如下：起始位置为 $x_0 \in U$。在第 $k$ 步，两位玩家抛掷一枚适当有偏的硬币（在我们的关键例子中，玩家 I 获胜的赔率为 $\exp(\beta\eps)$ 比 1），胜者选择满足 $d(x_k,x_{k-1}) < \eps$ 的 $x_k$。当 $x_k \in \partial{U}$ 时博弈结束，玩家 II 向玩家 I 支付金额 $F(x_k)$。我们证明该博弈的值 $u^{\eps}(x_0)$ 存在，并且当 $\eps \to 0$ 时 $\|u^\eps - u\|_\infty \to 0$，其中 $u$ 是 $F$ 到 $\overline{U}$ 的唯一延拓，满足与 $\beta$ 指数锥的比较。与指数锥的比较是我们在此引入的概念，并且推广了 Crandall、Evans 和 Gariepy 关于与线性锥比较的定理，我们证明一个连续函数满足与 $\beta$ 指数锥的比较当且仅当它是 $\beta$ 有偏无穷拉普拉斯方程的粘性解。