拉锯博弈与无穷 Laplacian

我们证明,长度空间 X 的子集 Y 上的每个有界 Lipschitz 函数 F 都容许一个最紧扩张到 X,即唯一的 Lipschitz 扩张 u,使得对所有不与 Y 相交的 X 的开子集 U 均有 Lip_U u = Lip_{U 的边界} u。这此前仅在 R^n 的有界域上已知,此时 u 是无穷调和的,即 Delta_infty u = 0 的粘性解。我们还证明了 R^n 有界子集上 Delta_infty u = g 的首个一般唯一性结果(当 g 一致连续且远离零有界时),以及有界长度空间上的类似结果。证明依赖于 u 的一个新的博弈论描述。令 u^epsilon(x) 为如下双人零和博弈(称为拉锯(tug-of-war))的值:固定 x_0=x \in X \setminus Y。在第 k 回合,玩家抛硬币,胜者选取 x_k 满足 d(x_k, x_{k-1})< epsilon。当 x_k 落入 Y 时博弈结束,玩家一的收益为 F(x_k) - (epsilon^2/2) sum_{i=0}^{k-1} g(x_i)。我们证明当 epsilon 趋于零时 u^\epsilon 一致收敛于 u。即便对 R^n 中的有界域,无穷调和函数的博弈论描述也给出新的直觉与估计;例如,我们证明了在单位圆盘内边界值支撑于单位圆上 Cantor 集的 delta-邻域的无穷调和函数的幂律界。