基于图多重拉普拉斯的回归收敛速率

在（特殊）平滑样条问题中，人们考虑带二次数据保真惩罚与拉普拉斯正则化的变分问题。通过以多重拉普拉斯正则化替代拉普拉斯正则化可获得更高阶正则性。该方法易于推广到图，本文考虑全监督、非参数、含噪回归问题中的图多重拉普拉斯正则化。具体地，给定数据集 $\{x_i\}_{i=1}^n$ 与一组含噪标签 $\{y_i\}_{i=1}^n\subset\mathbb{R}$，令 $u_n:\{x_i\}_{i=1}^n\to\mathbb{R}$ 为包含数据保真项与适当缩放的图多重拉普拉斯项之能量的最小化子。当 $y_i = g(x_i)+\xi_i$（$\xi_i$ 为独立同分布噪声）并使用几何随机图时，我们（以高概率）确定了在大数据极限 $n\to\infty$ 下 $u_n$ 到 $g$ 的收敛速率。此外，除对数因子外，我们的速率与通常平滑样条模型中已知的收敛速率一致。