一种基于图拉普拉斯的数据依赖正则化方法

我们研究了一种用于不适定问题的变分方法，命名为$\texttt{graphLa+}\Psi$，该方法在正则化项中嵌入了图拉普拉斯算子。该方法的新颖之处在于基于解的初步近似构建图拉普拉斯，该近似使用文献中任何现有重建方法$\Psi$获得。因此，正则化项既依赖于观测数据和噪声，又对其自适应。我们证明了$\texttt{graphLa+}\Psi$是一种正则化方法，并严格建立了其收敛性和稳定性。我们在二维计算机断层扫描中进行了选定的数值实验，将$\texttt{graphLa+}\Psi$方法与各种重建技术$\Psi$集成，包括滤波反投影($\texttt{graphLa+FBP}$)、标准Tikhonov($\texttt{graphLa+Tik}$)、全变分($\texttt{graphLa+TV}$)和训练好的深度神经网络($\texttt{graphLa+Net}$)。$\texttt{graphLa+}\Psi$方法显著提高了每种方法$\Psi$的近似解质量。值得注意的是，$\texttt{graphLa+Net}$表现最佳，为深度神经网络在求解逆问题中提供了稳健且稳定的应用。