基于邻域图上拉普拉斯正则化的 Sobolev 空间极小极大最优回归

本文研究拉普拉斯平滑（一种基于图的非参数回归方法）的统计性质。在标准正则条件下，我们建立了拉普拉斯平滑估计量 $\widehat{f}$ 的误差上界，以及同样基于 $\widehat{f}$ 的拟合优度检验的上界。这些上界在一阶 Sobolev 类 $H^1(\mathcal{X})$（其中 $\mathcal{X}\subseteq \mathbb{R}^d$ 且 $1 \leq d < 4$）上匹配极小极大最优估计与检验收敛速率；在估计问题中，当 $d = 4$ 时，它们除一个 $\log n$ 因子外是最优的。此外，我们证明拉普拉斯平滑是流形自适应的：若 $\mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^d$ 是一个 $m$ 维流形且 $m < d$，则拉普拉斯平滑的误差速率（在估计或检验中）仅依赖于 $m$，方式如同 $\mathcal{X}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中一个满维集合时一样。