关于$p$-双调和与$\infty$-双调和函数的数值逼近

在[KP16]（arXiv:1605.07880）中，作者引入了$L^{\infty}$中的一个二阶变分问题。其关联方程被称为$\infty$-双拉普拉斯算子（$\infty$-Bilaplacian），是一个\emph{三阶}完全非线性偏微分方程，由$\Delta^2_\infty u\, := (\Delta u)^3 | D (\Delta u) |^2 = 0$给出。本工作中，我们构建了一种数值方法，旨在量化此问题解的性质，我们称之为$\infty$-双调和函数。对于固定的$p$，我们为预极限方程，即$p$-双拉普拉斯算子$\Delta^2_p u\, := \Delta(| \Delta u |^{p-2} \Delta u) = 0$，设计了一个混合有限元格式。我们证明了数值解收敛于$\Delta^2_p u = 0$的弱解，并表明我们能够取极限$p\to\infty$。我们进行了多种测试以理解$\Delta^2_\infty u$解的性质，并在一维情况下证明了我们的离散化收敛于该问题的一个合适的弱解概念，即$\mathcal D$-解（$\mathcal D$-solutions）。