$p$-调和函数到无穷调和函数的收敛速率

本文旨在证明具有 Dirichlet 边界条件的 $p$-Laplace 方程 $\Delta_p u = 0$ 的解到无穷-Laplace 方程 $\Delta_\infty u = 0$ 的解在 $p\to\infty$ 时的均匀收敛速率。对于一般 Dirichlet 问题的解，该速率量级为 $p^{-1/4}$；对于具有正梯度的解，量级为 $p^{-1/2}$。一个显式例子表明该速率不可能优于 $p^{-1}$。此结果的证明仅依赖于分别与 $p$-Laplace 和无穷-Laplace 方程的基本解的比较原理。我们的论证不使用粘性解，是纯度量的，因此可推广到具有 H"older 锥比较原理和 H"older 正则性的更一般情形。