最优无穷大拟共形浸入

对于哈密顿量 $K \in C^2(\mathbb{R}^{N \times n})$ 和映射 $u:\Omega \subseteq \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^N$，我们考虑上确界泛函 $$\label{1} \tag{1} E_\infty (u,\Omega) \ :=\ \big\|K(Du)\big\|_{L^\infty(\Omega)} .$$ 与 \eqref{1} 相关的“欧拉 - 拉格朗日”偏微分方程是拟线性系统 $$\label{2} A_\infty u \, :=\, \Big(K_P \otimes K_P + K[K_P]^\bot K_{PP}\Big)(Du):D^2 u \, = \, 0. \tag{2}$$ 这里 $K_P$ 是导数，$[K_P]^\bot$ 是其在零空间上的投影。\eqref{1} 和 \eqref{2} 是 $L^\infty$ 中向量值变分法的基本对象，最早出现在作者最近的工作 \cite{K1}-\cite{K6} 中。在此，我们将结果应用于几何分析，选择膨胀函数作为 $K$ $$K(P)={|P|^2}{\det(P^\top P)^{-1/n}}$$ 该函数衡量 $u$ 偏离共形的程度。我们的主要结果是，适当定义的 \eqref{1} 的极小化解满足 \eqref{2}。因此，可以使用偏微分方程方法来研究优化的拟共形映射。$K$ 的非凸性以及 $[K_P]^\bot$ 不连续的界面的出现造成了额外的困难。当 $n=N$ 时，Capogna-Raich \cite{CR} 此前曾遵循此方法，这与 Teichm\"uller 理论有关。特别是，我们反驳了其中出现的一个猜想。