求解常微分方程的共形映射与其他幂级数方法之比较:以非谐振子为例

本文通过研究具有势 $V(x) =\beta x^{2}+x^{2m}$ ($m>0$) 的非谐振子(AO),阐明了一种求解非线性常微分方程(ODE)的准解析方法的简便性与高效性。该方法 [Nucl. Phys. B801, 296 (2008)] 原则上适用于任何具有两点边界(其中一点位于无穷远处)且其解在自变量 $x$ 的复平面上存在奇点的ODE。将 $x$ 复平面上适当选取的角域共形映射到以原点为中心的单位圆盘上,使得通解的变换泰勒级数收敛,从而可以容易地施加无穷远处的边界条件。原则上,当这种约束应用于波函数的对数导数时,可以在任意精度水平上确定特征值。在实践中,对于 $\beta \geq 0$ 或略小于零的情况,考虑到所使用的有限计算能力,所获得结果的精度高得惊人。本文解释了为什么该方法的效率会随着 $\beta$ 越来越负而降低。此外,简要回顾、展示并讨论了该方法的各种方面,以及与一些看似相似、同样基于将解表示为泰勒级数的方法的比较。