临界情形下变分系统有界弱解的 Hölder 连续性

设 $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ 为有界 Lipschitz 域。我们考虑向量值 Euler-Lagrange 系统：\text{div } \big( A(x, u)Du\big)=g(x, u, Du)\quad\text{in }\Omega 的有界弱解（$u\in W^{1, 2}\cap L^{\infty}(\Omega;\mathbb{R}^N)$）。在主部分和非齐次项的自然增长条件下，但不对非齐次项的增长施加任何进一步限制（例如通过小性条件），我们使用爆破论证证明系统的每个有界弱解都是 Hölder 连续的。由于 $\Omega$ 的维数为 $2$ 且 $u\in W^{1, 2}(\Omega;\mathbb{R}^N)$，我们处于临界设定中，因此不能使用 Sobolev 嵌入定理来推导 Hölder 连续性。我们的结果与以下开放问题的一个特例相关：在临界设定中，变分系统的所有解（而不仅仅是极值解）是否都是 Hölder 连续的。