具有分数阶时间导数的非局部多孔介质方程

本文研究如下方程组解的存在性：\begin{equation*} \left\{ \begin{array}{l} D^{\alpha}_tu=\textrm{div}(u \nabla p),\\ D^{\alpha}_tp=-(-\Delta)^{s}p+u^{2}, \end{array} \right. \end{equation*} 在 $\mathbb{T}^3$ 中，其中 $0< s \leq 1$，$0< \alpha \le 1$。项 $D^\alpha_t u$ 表示 Caputo 导数，用于刻画时间上的记忆效应。分数阶 Laplacian $(-\Delta)^{s}$ 表示 Lévy 扩散。我们证明满足变分不等式的非负弱解的整体存在性。证明采用若干逼近步骤，包括隐式 Euler 时间离散。我们证明所提出的离散 Caputo 导数满足若干重要性质，包括保正性、凸性以及对连续 Caputo 导数的严格收敛性。最重要的是，基于离散 Caputo 导数的界，我们给出了分段常数函数的强紧性准则，其精神类似于 Aubin-Lions 定理。