一般非柱形域中双重非线性系统变分解的存在性

我们考虑如下形式的双重非线性系统的Cauchy-Dirichlet问题：\n\begin{align*}\n\partial_t \big( |u|^{q-1}u \big) - \operatorname{div} \big( D_\xi f(x,u,Du) \big) = - D_u f(x,u,Du)\n\end{align*}\n其中 $q \in (0, \infty)$，定义在有界非柱形区域 $E \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 中。进一步，我们假设 $x \mapsto f(x,u,\xi)$ 可积，$(u,\xi) \mapsto f(x,u,\xi)$ 凸，且 $f$ 对某个 $p>\max \big\{ 1,\frac{n(q+1)}{n+q+1} \big\}$ 满足 $p$-增长和 $p$-强制性条件。仅假设 $\mathcal{L}^{n+1}(\partial E) = 0$，我们证明了变分解 $u \in L^\infty\big( 0,T;L^{q+1}(E,\mathbb{R}^N)\big)$ 的存在性。如果 $E$ 不收缩过快，我们证明对第一步构造的解 $u$，$|u|^{q-1}u$ 承认分布时间导数。此外，在关于 $E$ 的适当条件下以及更严格的下界 $p \geq \frac{(n+1)(q+1)}{n+q+1}$ 下，$u$ 关于时间是连续的。