关于渐近变分波方程

我们研究方程 $(u_t + (f(u))_x)_x = f''(u) (u_x)^2/2$,其中 $f(u)$ 是给定的光滑函数。典型情形为 $f(u)= u^2/2$ 或 $u^3/3$。该方程对变分波方程 $u_{tt} - c(u) (c(u)u_x)_x =0$ 的单向弱非线性波进行建模,而后者对具有自然正弦型 $c$ 的某些液晶进行建模。该方程本身也是某个变分问题的 Euler-Lagrange 方程。可与该方程关联两类自然的解。守恒解将在时间中保持其能量,而耗散弱解在奇点出现时损失能量。守恒解在时间前向与后向均全局定义,并保持有趣的几何特征,如哈密顿结构。另一方面,从物理观点看耗散解似乎更为自然。在初始数据具有有限能量且假设通量函数 $f$ 具有 Lipschitz 连续的二阶导数之情形下,我们建立了 Cauchy 问题在守恒解类中的适定性。在 $f$ 为凸的情形,该 Cauchy 问题在耗散解类中亦适定。然而,当 $f$ 非凸时,我们证明耗散解并不连续依赖于初始数据。