角边上具有无穷多个端点的斯坦纳树

欧几里得斯坦纳问题是寻找一个最短长度的集合$St$，使得$St \cup A$连通，其中$A$是欧几里得空间中的一个给定集合。斯坦纳问题的解$St$称为斯坦纳集，而集合$A$称为输入。由于每个斯坦纳集是无环的，当它连通时我们称之为斯坦纳树。如果斯坦纳树不包含任何针对输入子集的斯坦纳树，则称其为不可分解的。我们感兴趣的是当输入由分布在两条直线上的无穷多个点组成时寻找斯坦纳集。特别地，我们希望找到一种能产生不可分解斯坦纳树的配置。我们考虑一个自相似输入，即点集$A_{\alpha,\lambda}$，其坐标为$(\lambda^{k-1}\cos \alpha, \pm \lambda^{k-1}\sin \alpha)$，其中$\lambda>0$和$\alpha>0$是固定的微小值。这些点分布在大小为$2\alpha$的角的两边上，使得点到角顶点的距离呈几何级数。令我们惊讶的是，我们证明在这种情况下，当$\alpha$和$\lambda$足够小时，$A_{\alpha,\lambda}$的斯坦纳问题的解总是可分解的树。更准确地说，$A_{\alpha,\lambda}$的任何斯坦纳树都是可数多个斯坦纳树的并集，每个树连接输入中的5个点。通过仅考虑有限个分量，我们得到了由分布在两条直线上的$4k+1$个点（一条直线上$2k+1$个，另一条直线上$2k$个）组成的有限集合的斯坦纳问题的许多解。这些解与Chung和Graham的梯子非常相似。