$\mathbb{R}^{2}$ 中所有各向异性极小曲面正则性的几何证明

Max Goering

$\mathbb{R}^{2}$ 中所有各向异性极小曲面正则性的几何证明

微分几何 2020-07-28 v1 偏微分方程分析最优化与控制

作者: Max Goering

摘要

如果对于某个表面能量 $\Phi(E;A) = \int_{\partial^{*}E \cap A} \| \nu_{E}\| d \mathcal{H}^{n-1}$ 以及所有满足 $E \Delta F \subset \subset A$ 的局部有限周界集 $F$ ，都有 $\Phi(E;A) \le \Phi(F;A)$ ，则局部有限周界集 $E \subset \mathbb{R}^{n}$ 称为开集 $A$ 中的各向异性极小曲面。在这篇短文中，我们提供了一个几何证明的细节，验证了 $\mathbb{R}^{2}$ 中所有对应的被积项 $\| \cdot \|$ 严格凸的各向异性曲面极小化子都是线段的局部不相交并集。这证明了，在平面上， $\| \cdot \|$ 的严格凸性对于正则性既是必要的也是充分的。相应的 Bernstein 定理也得到了证明：全局各向异性极小化子 $E \subset \mathbb{R}^{2}$ 是半空间。

关键词

各向异性极小曲面正则性几何证明严格凸性 Bernstein 定理局部有限周界

引用

@article{arxiv.2007.12953,
  title  = {A geometric proof of regularity of all anisotropic minimal surfaces in $\mathbb{R}^{2}$},
  author = {Max Goering},
  journal= {arXiv preprint arXiv:2007.12953},
  year   = {2020}
}

$\mathbb{R}^{2}$ 中所有各向异性极小曲面正则性的几何证明

摘要

关键词

引用

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