具有零高阶各向异性平均曲率的超曲面

给定球面 $\mathbb S^n$ 上满足凸性条件的正函数 $F$，对于 $1\leq r\leq n$，我们为 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中的超曲面定义第 $r$ 阶各向异性平均曲率函数 $H_{r; F}$，这是通常第 $r$ 阶平均曲率函数的推广。若 $H_F=H_{1; F}=0$，我们称超曲面为各向异性极小；若 $H_{r+1; F}=0$，则称为各向异性 $r$-极小。令 $W$ 为与 $M$ 相切的超平面所遗漏的点集。我们将证明：若定向超曲面 $M$ 是各向异性极小的，且集合 $W$ 是开集且非空，则 $x(M)$ 是 $\mathbb R^{n+1}$ 中某个超平面的一部分。我们还证明：若定向超曲面 $M$ 是各向异性 $r$-极小的，且其第 $r$ 阶各向异性平均曲率 $H_{r; F}$ 处处非零，同时集合 $W$ 是开集且非空，则 $M$ 具有各向异性相对零化度 $n-r$。