$\mathbb{R}^d$ 中的非局部遍历控制问题

我们研究遍历 Hamilton-Jacobi 方程 $$(-\Delta)^s u + H(x, \nabla u) = f-\lambda\quad \text{in}\; \mathbb{R}^d,$$ 且 $u\geq 0$ 的解 $(u, \lambda)$ 的存在唯一性，其中 $s\in (\frac{1}{2}, 1)$。我们证明临界值 $\lambda=\lambda^*$（定义为所有能取得非负上解之 $\lambda$ 的下确界）可取得一个非负解 $u$。在适当条件下，也证明 $\lambda^*$ 是所有可能存在非正下解之 $\lambda$ 的上确界。此外，还建立了对应于 $\lambda^*$ 的解 $u$ 的唯一性。进一步地，我们给出了一个概率刻画，用以确定在所有满足 $u\geq 0$ 的解对 $(u, \lambda)$ 中配对 $(u, \lambda^*)$ 的唯一性。我们的证明技术结合了分析与概率方法，以及本文获得的一个新的局部 Lipschitz 估计。