带状态约束的非线性 Hamilton-Jacobi 方程解的广义收敛

对于连续哈密顿量 $H : (x, p, u) \in T^*\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$，我们考虑当 $\lambda\rightarrow 0^+$ 时，带状态约束 $H(x, Du, \lambda u) \leq C_\lambda$（在 $\Omega_\lambda\subset \mathbb{R}^n$ 内）与 $H(x, Du, \lambda u) \geq C_\lambda$（在 $\overline{\Omega}_\lambda\subset \mathbb{R}^n$ 上）的相应 Hamilton--Jacobi 方程的渐近行为。当 $H$ 满足某些凸性、强制性和单调性条件，区域 $\Omega_\lambda:=(1+r(\lambda))\Omega$ 对所有 $\lambda>0$ 保持有界、星形且 $\lim_{\lambda\rightarrow 0^+}r(\lambda)=0$，且 $\lim_{\lambda\rightarrow 0^+}C_\lambda=c(H)$ 等于 $H(\cdot,\cdot,0)$ 的遍历常数时，我们证明解 $u_\lambda$ 收敛到临界方程 $H(x, Du, 0)\leq c(H)$（在 $\Omega$ 内）与 $H(x, Du, 0)\geq c(H)$（在 $\overline{\Omega}$ 上）的某个特定解。我们还讨论了此类收敛对具有更一般 $C_\lambda$ 和 $\Omega_\lambda$ 的方程的推广。