新型Hamilton-Jacobi方程扰动问题及其应用中的选择问题

本文研究由方程$H(x, d_xu_\lambda, \lambda u_\lambda(x))+\lambda V(x,\lambda)=c$给出的扰动问题，其中$M$为闭流形，$\lambda>0$为扰动参数。Hamiltonian $H(x,p,u):T^*M\times \mathbb{R}\to \mathbb{R}$满足一定的凸性、超线性和单调性条件。$\lambda V(\cdot,\lambda):M\to\mathbb{R}$在$\lambda\to 0$时收敛于零。首先，我们研究黏性解$u_\lambda:M\to\mathbb{R}$在$\lambda$趋于零时的渐近行为。该扰动问题探讨了vanishing discount过程与势能扰动的综合效应，导致一种超越经典vanishing discount方法的新选择原则。此外，我们将这一原则应用于Hamilton-Jacobi方程，其中Hamiltonian与u无关，结果引入了新的解算子。该算子为黏性解的变分特征及Mather测度提供了新的见解。