关于梯度中具有次二次非线性项的粘性HJB方程解的唯一性

对于形式为 $-\Delta u(x) + \frac{1}{\gamma} |D{u}(x)|^\gamma = f(x) - \lambda$ 的粘性Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程，其中 $f$ 为强制函数，$\lambda$ 为常数，在次二次情形，即 $\gamma\in(1,2)$ 时，其正解的唯一性似乎是一个悬而未决的问题。Barles和Meireles [Comm. Partial Differential Equations 41 (2016)] 证明了在 $f(x) \approx |x|^\beta$ 且 $|D f(x)|\lessapprox |x|^{(\beta-1)_+}$ 对于某个 $\beta>0$ 成立的情形下的唯一性，这基本上与Ichihara的早期结果相匹配，后者考虑了更一般的Hamiltonian但对 $f$ 有更好的正则性要求。在不施加此假设的情况下，据我们所知，文献中没有关于唯一性的结果。在这篇短文中，我们证明对于任何局部Lipschitz连续、强制的 $f$，只要满足 $|D f(x)| \le \kappa\bigl(1 +|f(x)|^{2-\frac{1}{\gamma}}\bigr)$ 对于某个正常数 $\kappa$ 成立，该方程就有唯一的正解。由于 $2-\frac{1}{\gamma}>1$，这个假设对势函数 $f$ 的增长施加了非常温和的限制。我们还证明了这个解完全刻画了相关遍历问题的最优性。我们的方法涉及对测度的椭圆方程无穷维线性规划的研究，与早期方法截然不同。它也适用于Ichihara研究的更广泛的Hamiltonian类，并且我们证明它非常适合为相关的遍历控制问题提供最优性验证，即使在路径意义上也是如此，且无需借助抛物问题。