关于广义边界条件下 1 维扩散逻辑问题的大正解

本文第一个目标是建立关于奇异边值问题 (1.1) 的正解存在性，其中 $\mathcal{B}$ 为广义边界算子，可为 Dirichlet、Neumann 或 Robin 类型，亦可为经典或非经典类型；即只要 $\mathcal{B}u(0)=-u'(0)+\beta u(0)$，系数 $\beta$ 可取任意实数，不必 $\beta\geq 0$（如经典 Sturm--Liouville 理论所需）。由于函数 $f(u):=au^p -\lambda u$, $u\geq 0$ 在 $\lambda>0$ 时非单调，问题 (1.1) 的正解唯一性在一般情况下并不明显，尤其是当 $a(x)$ 为正常数时的简单情形。本文第二个目标是建立该问题正解的唯一性。后续我们将记 $L_\lambda$ 为问题 (1.1) 的唯一正解（当 $a(x)$ 为正常数时），并刻画 $L_\lambda$ 随 $\lambda\to \pm \infty$ 的点态行为。结果显示，问题 (1.1) 的任何正解在 $\lambda \to \pm\infty$ 时都模仿 $L_\lambda$ 的行为。最后，我们将在 $a(x)$ 在 $[0,R]$ 非增、$\lambda\geq 0$，且 $\beta<0$ 当 $-u'(0)+\beta u(0)=0$ 时，建立问题 (1.1) 的正解唯一性。