具有冲突非线性的 Sturm-Liouville 边值问题的多个正解

我们研究二阶非线性微分方程 \begin{equation*} u"+ \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} a_{i}(x)g_{i}(u) - \sum_{j=0}^{m+1} \beta_{j} b_{j}(x)k_{j}(u) = 0, \end{equation*} 其中 $\alpha_{i},\beta_{j}>0$，$a_{i}(x), b_{j}(x)$ 是定义在 $\mathopen{[}0,L\close{]}$ 上的非负 Lebesgue 可积函数，非线性项 $g_{i}(s), k_{j}(s)$ 连续、为正且满足适当的增长条件，以涵盖经典的超线性方程 $u"+a(x)u^{p}=0$（$p>1$）。当正参数 $\beta_{j}$ 足够大时，我们证明了与该方程相关的 Sturm-Liouville 边值问题至少存在 $2^{m}-1$ 个正解。证明基于开集（可能是无界集）上局部紧算子的 Leray-Schauder 拓扑度。最后，我们讨论了与椭圆偏微分方程相关的 Dirichlet 问题的径向对称正解。