超-次线性不定问题的正解：基于重合度的高重数结果

我们研究与第二阶非线性方程 \begin{equation*} u'' + ( \lambda a^{+}(t) - \mu a^{-}(t) ) g(u) = 0, \end{equation*} 相关的周期边值问题，其中$g(u)$在零处呈超线性增长，在无穷远处呈次线性增长。对于正且大的$\lambda, \mu$，我们证明了当权函数$a(t)$具有$m$个正峰并被$m$个负峰隔开（在$T$周期区间内）时，存在$3^{m}-1$个正$T$周期解。作为我们方法的副产品，我们还给出了大量正次调和解与符号动力学。证明基于开无界集上局部紧算子的重合度理论，并且也适用于诺伊曼和狄利克雷边界条件。最后，我们处理了与椭圆偏微分方程相关的诺伊曼和狄利克雷问题的径向对称正解。