一类不定 Minkowski 曲率方程的正周期解

我们研究方程 \begin{equation*} \Biggl{(} \dfrac{u'}{\sqrt{1-(u')^{2}}} \Biggr{)}' + \lambda a(t) g(u) = 0, \end{equation*} 的正周期解（调和的，即 $T$-周期的，以及次调和的，即对某个整数 $k \geq 2$ 为 $kT$-周期的）的存在性、不存在性与多解性，其中 $\lambda > 0$ 为参数，$a(t)$ 为 $T$-周期变号权函数，$g \colon \mathopen{[}0,+\infty\mathclose{[} \to \mathopen{[}0,+\infty\mathclose{[}$ 是在零处具有超线性增长的连续函数。我们特别证明：对 $g(u)=u^{p}$（$p>1$）以及 $g(u)= u^{p}/(1+u^{p-q})$（$0 \leq q \leq 1 < p$），当 $\lambda$ 接近于零时方程无正 $T$-周期解，而当 $\lambda$ 足够大时有两正 $T$-周期解（一个“小”解和一个“大”解）。此外，两种情形下“小”的 $T$-周期解都被一族具有任意大最小周期的正次调和解所包围。$T$-周期解存在性的证明依赖于近期 Mawhin 重合度理论在 Banach 空间乘积中局部紧算子上的推广，而次调和解则是在对 $\lambda \to +\infty$ 时 $T$-周期解作仔细渐近分析后，应用 Poincar\'e–Birkhoff 不动点定理得到。