双曲空间中一类临界指数问题的整体紧致性与解的多重性

本文研究如下类型问题的整体紧致性与正解多重性：$$-\Delta_{\mathbb B^N} u -\lambda u=a(x) |u|^{2^*-2}u+f(x) \quad\text{in } \mathbb B^N, \quad u\in H^1(\mathbb B^N),$$ 其中 $\mathbb B^N$ 表示维数 $N\geq 4$ 的双曲空间的球模型，$2^*=\frac{2N}{N-2}$，$\frac{N(N-2)}{4}<\lambda<\frac{(N-1)^2}{4}$ 且 $f\in H^{-1}(\mathbb B^N)$（$f\not\equiv 0$）是 $H^1(\mathbb B^N)$ 对偶空间中的非负泛函。势函数 $a\in L^\infty(\mathbb B^N)$ 假设为严格正，且满足 $\lim_{ d(x,0)\to \infty}a(x)=1$，其中 $d(x,0)$ 表示测地距离。我们建立了相应泛函的轮廓分解。我们证明集中现象沿两种不同的轮廓发生，即沿双曲气泡与局部化 Aubin-Talenti 气泡。对于 $f=0$ 且 $a\equiv 1$ 的情形，轮廓分解由 Bhakta 与 Sandeep [Calc. Var. PDE, 2012] 研究过。然而，由于 $a(.)$ 的存在，将轮廓分解推广至当前框架极为非平凡，并需要若干关于双曲空间等距群（Möbius 群）的精细估计与几何论证。进一步，利用该分解结果，我们导出了涉及相互作用的双曲气泡以及双曲气泡与局部化 Aubin-Talenti 气泡的各种能量估计。最后，将这些估计与拓扑及变分论证结合，我们分别建立了在 $a\geq 1$ 与 $a<1$ 情形下的正解多重性。本文所研究的方程可视为双曲空间中带临界指数的标量场方程的一种变体，尽管在欧氏空间 $\mathbb{R}^N$ 中此类临界指数问题当 $f \equiv 0,$ $a(x)\equiv1$ 且 $\lambda < 0$ 时仅有平凡解。