$L^p$-Kato 类测度及其与 Dirichlet 空间 Sobolev 嵌入定理的关系

本文讨论了 Dirichlet 空间 $(\mathcal{F}, \mathcal{E}_1)$ 到 Lebesgue 空间的连续嵌入与相伴预解核 $r_\alpha(x, y)$ 的可积性之间的关系。对于正测度 $\mu$，我们考虑以下两个性质：其一是 Dirichlet 空间 $(\mathcal{F}, \mathcal{E}_1)$ 连续嵌入到 $L^{2p}(E;\mu)$ 中（记为 (Sob)$_p$），其二是 1 阶预解核族 $\{r_1(x, y)\}_{x\in E}$ 关于测度 $\mu$ 在 $y$ 上一致 $p$ 次可积（记为 (Dyn)$_p$）。在某些假设下，对于满足 (Dyn)$_1$ 的测度 $\mu$，我们证明了对 $1\leq p \leq p'<\infty$，(Dyn)$_{p'}$ 蕴含 (Sob)$_p$，并对 $1\leq p < p'<\infty$ 证明 (Sob)$_{p'}$ 蕴含 (Dyn)$_p$。为证明这些结果，我们引入了 $L^p$-Kato 类，即 Kato 类测度集合的 $L^p$ 版本，并讨论其性质。我们还给出了对应于 Gagliardo-Nirenberg 型插值不等式的此类关系的变体。作为应用，我们讨论了时间上相交测度的连续性。